La question du saucisson
Un problème de la vie de tous les jours : un saucisson de forme imprécise doit être partagé entre deux personnes de façon la plus égale possible. En combien de tranches de même épaisseur le couper (par exemple avec la machine à jambon du charcutier) et comment distribuer les tranches ?
Même question, mais cette fois-ci le saucisson est à partager entre k convives.
Tranchons la question
Pour répondre aux deux problèmes, on doit juste faire l'hypothèse que la surface d'une section du saucisson est une fonction polynomiale de degré n de la coordonnée z suivant la longueur du saucisson. Par exemple, le saucisson pourrait être de symétrie de révolution (ce n'est pas obligatoire) et son rayon varier suivant z comme r(z) = z (1-z) quand z varie entre 0 et 1. Cela lui donnerait une forme de fuseau pas très orthodoxe (image de gauche), mais c'est pour l'exemple. La surface des sections serait alors la fonction polynomiale S(z) = π r(z)2 = π (1-z)2 z2.
Solution du premier problème : il suffit de découper le saucisson en N = 2(n+1) tranches de même épaisseur et de répartir les tranches entre les deux convives suivant la suite de Prouhet-Thué-Morse :
ab ba ba ab ba ab ab ba....
les tranches a pour l'un et les tranches b pour l'autre. On aura en effet une surface totale des tranches du premier convive qui sera Σ S(i/N) où les i sont les rangs des a dans la suite de PTM ; c'est une somme de différentes puissances des i qui est donc égale à la somme de puissances des j qui eux sont les rangs des b dans la suite de PTM.
D'autres saucissons de forme aussi étrange que ceux des figures du centre et de droite peuvent être découpés de la même façon !
Réponse au deuxième problème : il suffit de découper le saucisson en N = k(n+1) tranches de même épaisseur et de répartir les tranches entre les k convives suivant la suite de Prouhet-Thué-Morse : par exemple pour k=3 :
abc bca cab bca cab abc cab abc bca
les tranches a pour le premier convives, les tranches b pour le second, les c pour le troisième et ainsi de suite. Les sommes des surfaces des tranches sont bien toutes identiques : tous les convives ont bien reçu une portion égale de saucisson.
Une autre application : approximation polynomiale d'une mesure physique
On fait une mesure entachée de bruit d'une grandeur physique en fonction d'un paramètre (temps, distance, tension,...) et on désire savoir si le phénomène peut être décrit correctement par une loi polynomiale et de quel ordre. C'est un problème très général rencontré souvent en physique expérimentale.Réponse : on découpe les données en 2N paquets, on additionne les données d'un paquet et on multiplie la suite des 2N valeurs obtenues par la série de Prouhet mise sous forme de + et de - . La somme des éléments de la nouvelle série doit être proche de zéro si une loi polynomiale d'ordre m < N est une bonne approximation, et nettement différente de zéro dans le cas contraire.