L'optique diophantienne
C’est
l’utilisation en
optique physique (celle des interférences) de relations
algébriques remarquables entre les puissances de nombres
entiers
Diophante est un mathématicien de
l’antiquité, contemporain d’Euclide. Il
s’est
intéressé aux équations polynomiales
à
coefficients entiers qui ont la particularité
d’avoir pour
solutions des nombres entiers. Ces équations sont dites
diophantiennes. Par exemple :
- L’équation x2 - 3x +2 = 0,
qui s’écrit également (x-1)(x-2) = 0 et
a donc
comme solution x1=1 et x2=2, est une équation diophantienne.
- L’équation x2 + y2 = z2 qui
admet, entre autres, la solution x=3, y=4, z=5 (voir le triangle égyptien) est une
équation diophantienne
- L’équation diophantienne xn + yn = zn
n’admet pas de solutions pour n > 2 : c’est
le fameux
dernier théorème de Fermat,
démontré par
Andrew Wiles en 1995.
- On va s’intéresser dans la suite
à des
relations remarquables mettant en jeu des sommes algébriques de
puissances de
nombre entiers, comme par exemple
l’égalité : 12 + 42 + 62 + 72 = 22 + 32 + 52 + 82 qui
est bien une relation diophantienne.
- Pourquoi l’optique physique aurait-elle une
relation avec les entiers naturels ?
Parce qu'elle traite notamment des phénomènes
d’interférence qui font intervenir des
différences
de marche qui sont des multiples entiers pairs ou impairs de la
demi-longueur
d’onde