Quelques relations entre puissances de nombres entiers

Le triangle égyptien et ses avatars :

• Pour tracer au sol les contours à angles droits des murs des bâtiments à ériger, les anciens égyptiens utilisent une corde refermée sur elle-même et sur laquelle 12 segments équidistants sont marqués, par exemple par des nœuds qu’on numérotera 1, 2, 3, .., 12 . Si on cherche à former un triangle en tendant la corde entre les points 1, 4 et 8, en créant donc des segments de longueur a = 3, b = 4 et c = 5, on obtient nécessairement un triangle rectangle. Il satisfait en effet bien au théorème de Pythagore : a² + b² = c² car on a bien l’égalité diophantienne 3² + 4² = 9 + 16 = 25 =  5²

• D’autres triangles rectangles dont les côtés ont des longueurs multiples entiers d’un segment unitaire existent ; par exemple  [5, 12, 13]. Il y a une infinité de tels triangles puisqu'il suffit de multiplier n'importe quelle solution par N pour en trouver une nouvelle ; cependant  ces solutions sont en fait beaucoup plus nombreuses qu'on ne le pense en général : par exemple si on considère tous les triangles rectangles de côtés entiers et dont l'hypoténuse est  égale à un entier compris entre 5 et 5000, on trouve 5677 triplets d'entiers qui satisfont la condition de Pythagore. 
• Certaines valeurs d'hypoténuse  donnent  lieu à plusieurs solutions. En particulier c = 1105 donnent 13 (!) solutions de couples (a,b) satisfaisant a² + b² = c² : (817, 744) ; (855, 700) ; (884, 663) ; (943, 576) ; (952, 561) ; (975, 520) ; (1001, 468) ; (1020, 425) ; (1071, 272) ; (1073, 264) ; (1092, 169) ; (1100, 105) ; (1104, 47). Chaque couple correspond à un point de coordonnées cartésiennes (a,b) sur le cercle de rayon c. Les points de coordonnées (-a,b), (a,-b), (-a,-b), (b,a), (-b,a), (b,-a) et (-b,-a) sont également sur le cercle : cela signifie que 13 x 8 = 104 points du cercle de rayon 1105 possèdent des coordonnées entières : plus vraiment besoin de compas pour tracer ce cercle ! c = 5525, qui n'est autre que 1105 x 5 correspond à 22 couples, c'est-à-dire qu'aux 13 trouvés pour c = 1105 se sont rajoutés 9 couples nouveaux.  Pour c = 27625, c'est 31 couples et pour c = 32045, 40885, 45305 et bien d'autres, c'est 40 couples qui sont trouvés ! Mieux : pour 49 valeurs de l'hypoténuse inférieures à ou de l'ordre de un million (par ex : 160225, 292825, 806650, 1000025) on trouve 67 couples. Et enfin (pour cette rubrique, mais il n'y a probablement pas de limite), pour l'hypothénuse  c = 1022125, on trouve 94 couples (a,b).   En somme (de carrés...), des nombres très diophantiens !

Le problème de Prouhet-Tarry-Escott

• Ce problème s’énonce ainsi : peut-on trouver 2 ensembles {a₁,…,a_n} et {b₁,…,b_n} d’entiers tels que
  a₁^m +…+ a_n^m  =  b₁^m +…+ b_n^m   pour m = 1,…,k ?
  En abrégé, le problème est noté : {a_i}=^k= {b_i} et les solutions sont appelées multigrades

• Le problème possède bien des solutions et, par exemple, Euler et Goldbach montrent en 1750 que
  {a, b, c, a+b+c}  =²=  {a+b, b+c, c+a}

La suite de Prouhet-Thué-Morse

• Cette suite se construit très simplement en considérant 2 symboles complémentaires (par exemple a et b, ou + et -, ou 0 et 1). Etant donné le terme S_n, on construit le terme S_n+1 en concaténant au terme S_n son complémentaire (a => b et b => a).
  On part du premier terme de la suite: S₀ = a  qui donne : S₁ = ab, puis S₂ =  ab ba, et ainsi de suite :
  S₀ = a
  S₁ = ab
  S₂ =  ab ba
  S₃ =  ab ba ba ab
  S₄ = ab ba ba ab ba ab ab ba 
  …..
  En toute rigueur, nous avons ici plutôt décrit une série. La  suite infinie de P-T-M est la limite de S_nquand n tend vers l'infini .
  
  
• Cette suite possède les propriétés de ne pas être périodique (on ne trouve pas de motif qui se répète régulièrement), de ne pas comporter de séquence se répétant trois fois successivement (elle est sans cubes) et d’avoir un caractère fractal. Elle est dotée d’un véritable don d’ubiquité car elle apparaît dans de très nombreux problèmes qui n’ont en principe aucun points communs entre eux.

La suite de P-T-M et le problème de P-T-E (et un saucisson convivial en prime...)

• Prouhet montre en 1851 (dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences) que cette suite - elle n’a alors bien sûr pas ce nom - permet de construire une solution multigrade au problème de Prouhet-Tarry-Escott pour n = 2^N et k = N

• Cette solution consiste à  prendre pour les a_i les rangs des “a” dans le terme d’ordre N de la série de P-T-M et pour les b_i les rangs des “b”
  Ainsi  le terme d’ordre 3 qui s'écrit   ab ba ba ab ba ab ab ba,  donne :
  {a_i} = {1,4,6,7,10,11,13,16} et  {b_i} = {2,3,5,8,9,12,14,15} et on vérifie bien que
  {1,4,6,7,10,11,13,16} =³= {2,3,5,8,9,12,14,15}
  autrement dit :
  1  +  4 +  6  +  7  +  10  +  11  + 13  +  16   =  2  +  3  +  5  +  8  +  9  + 12  + 14  +  15
  1² + 4² + 6² + 7² + 10² + 11² + 13² + 16² =  2² + 3² + 5² + 8² + 9² + 12² + 14² + 15²
  1³ + 4³ + 6³ + 7³ + 10³ + 11³ + 13³ + 16³ =  2³ + 3³ + 5³ + 8³ + 9³ + 12³ + 14³ + 15³
  
  
• C'est un résultat assez fascinant quand on réalise que quelque soit k, on peut toujours  trouver deux ensembles d'entiers, tous différents, tels que toutes les sommes de leurs éléments élevés à une puissance entre 0 et k  soient égales.
  
  
• On aurait pu tout aussi bien faire commencer la suite des entiers non pas à 1 mais à une valeur quelconque J, car en effet (J + i)^k = J^k + k J^(k-1) i + k(k-1)/2 J^(k-2) i²   + ... + i^k   : on fait bien apparaître toutes les sommes  i^k , i^k-1, i^k-2 , etc. qui vérifient chacune la propriété de Prouhet.  La propriété de Prouhet est donc invariante par translation.
  
  
• Une application originale est la découpe d'un saucisson de la façon la plus égale possible entre deux convives...

• Prouhet va plus loin : il montre que la suite de m^k  entiers qui se suivent peut être partitionnée en m sous-ensemble {a_1,i}, {a_2,i}, …, {a_m,i} qui vérifient :
  {a_1,i}  =^k=  {a_2,i}  =^k=  …   =^k=  {a_m,i} 
  C’est une suite de P-T-M généralisée qui permet de définir les sous-ensembles. Elle se construit en appliquant la règle suivante : prendre le terme courant, faire subir à ses éléments toutes les permutations circulaires, les concaténer. 
  Ainsi si m = 3 :
  abc   =>     abc bca cab   =>    abc bca cab  bca cab abc  cab abc bca
  On obtient alors le multigrade en considérant le terme d’ordre k de cette suite,  en prenant comme a_i les rangs des “a”, comme b_i les rangs des “b”, comme c_i les rangs des “c”, etc.
  Soit pour l’exemple précédent :
  {1,6,8,12,14,16,20,22,27} =²= {2,4,9,10,15,17,21,23,25} =²= {3,5,7,11,13,18,19,24,26} 
  
  
• Du coup, la découpe d'un saucisson de la façon la plus égale  entre k convives devient également possible ! 

Un problème de Prouhet-Tarry-Escott avec contrainte de parité